Only Me and Me

慢慢看就知道了

狗年的最后一则

 
问个问题吧:
 
一个圆上随机取3个点,问该圆圆心落在这三个点形成的三角形内的概率为多少。
 
我做了蛮长时间才得到了(应该是)正确的答案,而且还没有严格证明。
 
过年太闲的话想想吧,不过对一般人可能太难了。
 
大家猪年吉祥,平安如意,^_^
 

30 responses to “狗年的最后一则

  1. Goden February 16, 2007 at 12:43 am

    好像记得以前做过,本质上,是在问,一个圆上任意取三点,形成锐角三角形的概率是多少.
     
    (可以证明,如果圆心在三角形内,该三角形一定是锐角三角形) 这里忽略直角三角形这样的"临界"情况。因为题目说“三角形内"。呵呵。
     
    我的解法是:把圆周一分为二,出现两个半圆弧,任取三个点,如果三个点在同一个半圆弧上,就是钝角/直角三角形,除此之外就是锐角咯?@_@….所以概率是 2* (1/2)(1/2)(1/2) = 1/4
     
    后来想想,出现直角三角形的概率是不是接近0啊。大汗……好像样本空间一个是阿里夫1,一个是阿里夫1的平方,我都乱七八糟想了点啥…@_@….

  2. Annie February 16, 2007 at 12:44 am

    都最后了还来个折腾人的。。。
     
    一般人的
    A

  3. miaomiao February 16, 2007 at 1:00 am

    答中了有没有奖品阿?

  4. Steven February 16, 2007 at 1:01 am

    点三个点的落点因为是互相没有关联的,所以属于独立事件。问题可以简化为,当第一点确定之后,再随机点两个点,分别落在以第一点划分的不同半圆的概率。1/2 * 1/2 = 1/4。:-)

  5. Mira February 16, 2007 at 1:32 am

    i did it this way: A, B, C three nodes, if A is fixed, then the problem is to ask the P(whether B and C are at the different side of AA\’). here AA\’=diameter. then,  + means at the right side of AA\’, – means at the left side of AA\’, then,
    B C
    + +
    + –
    –  +
    –  –
    So, P of (B and C at the different side of AA\’)=1/2

  6. Goden February 16, 2007 at 1:39 am

    重新算了一下是3/8…..
     
    原来的解法有问题,因为那种情况下即使两个点在两边也有可能形成钝角。
    (-|-)
     
    画图不方便,看上图就知道。(汗,肯定要被嘲笑画图水平)如果另两个点在某条直径下方。
     
    所以应该要用微机分作,假设先有一点在圆弧上,第二点落在任意圆弧其他位置….
     
    不妨设p2的位置为x,那么第三点之要落在对应的x弧位置,才能形成锐角三角形。
    所以积分 S(0-1/2) x dx = 1/2 x^2 = 1/8
     

  7. Goden February 16, 2007 at 1:57 am

    1/8 打错了….-_-ooo

  8. 默涵 February 16, 2007 at 2:05 am

    0.5。。。。
    前两个点任意取,第三个点落在前两个点组成的半圆上的概率是一半。。。。

  9. 蚊子 February 16, 2007 at 2:12 am

    1/2 ? 何时公布答案啊?要是没答案,还让不让人过年了…

  10. Yu February 16, 2007 at 2:25 am

    "该圆圆心落在这三个点形成的三角形内。。。"
    该yuanyuan非彼yuanyuan,不过不论哪个yuanyuan,心都不能落在三角恋里面啊。

  11. 默涵 February 16, 2007 at 2:27 am

    内积分不太懂哎。。。。

  12. Mira February 16, 2007 at 2:37 am

    it\’s 100%!!!
     

  13. Mira February 16, 2007 at 2:49 am

    i re-did and got 50%: three nodes fixed a circle, so the center of the circle is either inside or outside the circle.

  14. Mira February 16, 2007 at 3:20 am

    Ah, I agree with 默默\’s explanation.

  15. Mira February 16, 2007 at 3:30 am

    当2点为圆直径,若第3点也在圆周上,有3种情况:case1经过直径,该情况排除,不符合原文条件;case2经过第3点的弧长小于180;case3经过第3点的弧长大于180.因为圆周弧长360,直径弧长180.so, 最后概率50%.

  16. Steven February 16, 2007 at 4:14 am

    ah,对的,1/2,因为分布的两边是对称的。:-)

  17. Elf February 16, 2007 at 4:41 am

    我,普通人,就不解了。:P
    上来给个大大的祝福:新年快乐,猪事大吉咯!^oo^

  18. 蚊子 February 16, 2007 at 7:59 am

    刚才吃早饭的时候又想了想,我觉得应该是在圆上任取两点,然后这两点连接所成的弦所对的劣弧占整个圆的比例,要用到integration,哎呀,完了,我要迟到了…回来再算

  19. 蚊子 February 16, 2007 at 9:50 am

    上课回来了~接着说,圆上认取两点,分别过这两点做直径,三角的第三点一定要落在直径的另一端(这两点的异端)之间的弧上才行(其实就等于原两点所围成的劣弧),这个弧占整个圆的比例就是答案。X为这段弧所对的圆心角,P = 2((X1/180) *( X2/180)*(X3/180)…*(Xn/180)),其中X1应该是无限趋近于0,Xn无限趋近于180,最后答案…没学过,不会算…靠!抱歉,我有病,放弃…

  20. 蚊子 February 16, 2007 at 9:50 am

    上课回来了~接着说,圆上认取两点,分别过这两点做直径,三角的第三点一定要落在直径的另一端(这两点的异端)之间的弧上才行(其实就等于原两点所围成的劣弧),这个弧占整个圆的比例就是答案。X为这段弧所对的圆心角,P = 2((X1/180) *( X2/180)*(X3/180)…*(Xn/180)),其中X1应该是无限趋近于0,Xn无限趋近于180,最后答案…没学过,不会算…靠!抱歉,我有病,放弃…

  21. hui February 16, 2007 at 6:35 pm

    好久没想这么深奥的问题啦 估计想了也是想不出的 而且最近脑细胞几乎都用完了:(

  22. Swing February 16, 2007 at 6:37 pm

    吾么进来顾……
     
    -..-
     
    p.s. 猪!你新年快乐!

  23. 小狗儿 February 18, 2007 at 1:30 am

    飘过.
     
     

  24. 霹雳老兔子 February 18, 2007 at 3:39 pm

    弟弟的BOLG比我勤快好多:)

  25. Cen February 21, 2007 at 3:52 pm

    同意蚊子和Goden Yao的想法,用积分算S(0-1/2) x dx,呵呵

  26. 五味子 February 28, 2007 at 1:15 am

    蛤蟆跳井——不懂

  27. Ding February 22, 2008 at 3:27 am

    是不是 pi/6?
    公布一下答案好不好?

  28. Demon March 4, 2008 at 2:48 pm

    @WRD: I really have forgotten this one, : (

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